Aproximaciones lineales de sistemas físicos

     Una gran mayoría de los sistemas físicos son lineales dentro de algún rango de variables. Sin embargo, todos los sistemas acaban siendo no lineales si sus variables aumentan sin ningún límite. Por ejemplo, el sistema resorte-masa-amortiguador es lineal y esta descrio por la ecuación:

Siempre y cuando la masa esté sujeta a pequeñas deflexiones y(t). Sin embargo, si y(t) se aumentara continuamente, el resorte se estiraría más allá de sus límites y finalmente se rompería. Por lo tanto, cada sistema debe considerarse el problema de linealidad y el rango de aplicación.

     Un sistema se define como lineal en términos de exitación y respuesta. En el caso de los circuitos eléctricos, la exitación es la corriente de entrada r(t) y la respuesta es el voltaje v(t). En general, para un sistema lineal puede determinarse una condición necesaria en función de una exitación x(t) y una respuesta y(t).
     Cuando el sistema en reposo está sujeto a una exitación x₁(t) y una respuesta y₁(t). Además, cuando el sistema está sometido a una exitación x₂(t), proporciona una respuesta correspondiente y₂(t). Para que un sistema sea lineal, es necesario que la exitación x₁(t) + x₂(t) dé como resultado una respuesta y₁(t) + y₂(t). Esto generalmente se denomina la propiedad de homogeneidad.


     Un sistema satisface las propiedades de superposición y homogeneidad

     Un sistema que se caracteriza por la relación y = x²  no es lineal, puesto que no se satisface la propiedad de supersposición. Un sistema  representado por y = mx + b no es lineal, ya que no cumple la propiedad de homogeneidad. Sin embargo este segundo deispositivo puede considerarse lineal respecto a un  punto de operación x_o, y_o para cambios pequeños de Δx y Δy.  

     Cuando x = x_o + Δx  e  y = y_o + Δy, se tiene:

                                                                        y = mx + b  

                      o bien             y_o+ Δy = mx_o + mΔx + b

 Por lo tanto, Δy = mΔx, lo cual satisface las condiciones necesarias. 

     La linealidad de muchos elementos mecánicos y eléctricos puede suponerse en un arango razonablemente grande de las variables. Este no suele ser el caso para elementos témicos y fluidos, los cuales frecuentemente tienen un carácter no lineal. Sin embargo, afortunadamente suele ser posible linealizar elementos no lineales suponiendo condiciones de pequeña señal. Este es el método normal utilizado para obtener un circuito lineal equivalente para circuitos electrónicos y transistores.

     Estimados, deben considerar un elemento general con una variable (through) de exitación x(t) y una variable (across) de respuesta y(t).

   

La relación de las dos variables se escribe como: y(t) = g(x(t))

     Donde g(x(t)) indica que y(t) es una función de x(t). El punto de operación normal se designa por x_o. 

     Como la curva (función) es continuaen el rango de interés, puede utilizarse un desarrollo en serie de Taylor en el punto de operación. Entonces se tiene:

     La pendiente de operación, 

                                                  

     es una buena aproximación a la curva en un intervalo pequeño de (x- x₀), la desviación del punto de operación. Entonces, como una aproximación razonable se puede plantear:

Donde m es la pendiente en el punto de operación. Finalmente, la ecuación puede describirse ahora como una ecuación lineal:
                                       (y- y₀) = m(x- x₀)     o    Δy = mΔx           

** Considere el caso de una masa M, asentada sobre un resorte no lineal, tal como se muestra en la figura.

El punto de operación normal es la posición de equilibrio que ocurre cuando la fuerza del resorte equilibra a la fuerza gravitacional Mg, donde g es la constante garvitacional. Así se obtiene y₀ = (Mg)^1/2.
     El modelo lineal para pequeña desviación es:

  Δf = mΔy     

                                                           donde: 

Tal como se nuestra en la figura:

     Así, m = 2 y₀. Una aproximación lineal es tan exacta como aplicable sea la hipótesis de pequeña señal para el problema específico.
      Si la variable dependiente y depende de algunas variables de excitación  x₁,  x₂, ..... x_n, entonces la relación funcional se escribe como:
                                                          y=g(x₁,  x₂, ..... x_n)

     El desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operación x₁₀, x₂₀,...x_n0, es útil para una aproximación lineal de la función no lineal. Cuando se desprecian los términos de orden más alto, la aproximación linela se escribe como:

                       
 

donde x₀ es el punto de operación.

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